Существующие треугольники

Определение

Существующие треугольники — это такие треугольники,
существование которых можно доказать с помощью неравенств.

Существующие треугольники
Например существование треугольника, изображенного на рисунке 1,
можно доказать с помощью неравенств: AB + BC > AC, AC + BC > AB, AB + AC > BC
Если эти три неравенства истинны значит треугольник существует,
иначе он не существует.

Также существование того или иного треугольника можно проверить с
помощью одного условия: Если большая сторона треугольника меньше
суммы двух других сторон, значит треугольник существует,
иначе он не существует.

Теорема

Для доказательства того, о чем мы говорили существует теорема под названием неравенство треугольника. Формулировка теоремы:
каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Докажем, что каждая сторона треугольника, изображенного на рисунке 2, меньше суммы двух других сторон:

 

Доказательство теоремы

Существующие треугольники

  1. Проведем отрезок CD равный отрезку CB.
  2. △BCD — равнобедренный, значит CBD = ∠CDB.
  3. Рассмотрим △ABD: ABD > CBD, следовательно ABD > CDB, то AB < AD.
  4. Но AD = AC + CD = AC + CB, поэтому AB < AC + CB, ч.т.д.

Следствия из теоремы

  1. Для любых точек А, В, С, не лежащих на
    одной прямой справедливы неравенства:
    AB < AC + BC

    AC < AB + BC
    BC < AC + AB
  2. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
  3. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним углов.
  4. Теорема о неравенстве треугольника для разности сторон.

Признаки существования треугольника

  • Если каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, значит треугольник существует.
  • Если большая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон,
    значит треугольник существует.
  • Если сумма углов треугольника равна 180°, значит треугольник существует.

Оцените статью
Colibrus
Добавить комментарий

Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить