Радиус вписанной окружности в треугольник

Радиус вписанной в треугольник окружности
рассчитать и выразить через периметр, площадь,
высоту, основание, стороны, диаметр. Формулы
радиуса окружности вписанной в треугольник.

Центр вписанной в треугольник окружности — это одна
из замечательных точек треугольника, она расположена
в точке пересечения биссектрис треугольника, её
иногда называют инцентром.

Центр вписанной окружности правильного треугольника — это
точка, где пересекаются высоты, медианы и биссектрисы.

В любой треугольник можно вписать только одну
окружность, которая находится внутри треугольника.
Центр вписанной окружности равноудален от всех
сторон треугольника. Точка, где окружность пересекается
со стороной треугольника, называется точкой касания.

Все отрезки, которые проведены от точки касания к центру
вписанной окружности имеют одинаковую длину.

Чтобы найти радиус окружности вписанной в треугольник
надо площадь разделить на полупериметр.

Диаметр вписанной окружности в треугольник численно
равен двум радиусам вписанной окружности. Радиус
вписанной окружности можно найти по разным
формулам, все зависит от того, какой треугольник.

Всего различают четыре вида треугольников:

• Разносторонний / любой
• Правильный / равносторонний
• Равнобедренный /  равнобочный
• Прямоугольный / прямой

Радиус вписанной окружности в любой треугольник

1. Радиус вписанной окружности в любой треугольник через площадь и полупериметр

   \[ r = \frac{S}{p} \]

   S — площадь; p — полупериметр;

2. Радиус вписанной окружности в любой треугольник через все стороны и полупериметр

   \[ r = \sqrt\frac{{(p-a)(p-b)(p-c)}}{p} \]

   a, b, c — стороны; p — полупериметр;

3. Радиус вписанной окружности в любой треугольник через основание, высоту и полупериметр

   \[ r = \frac{\frac{1}{2}a \cdot h}{p} \]

   a — основание, сторона на которую падает высота; h — высота; p — полупериметр;

4. Радиус вписанной окружности в любой треугольник через диаметр вписанной окружности

   \[ r = \frac{D}{2} \]

   D — диаметр вписанной окружности;

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник

1. Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через сторону

   \[ r = \frac{a}{2\sqrt 3} \]

   a — сторона;

2. Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через радиус описанной окружности

   \[ r = \frac{R}{2} \]

   R — радиус описанной окружности;

3. Радиус вписанной окружности в правильный треугольник через диаметр вписанной окружности

   \[ r = \frac{D}{2} \]

   D — диаметр вписанной окружности;

Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник

1. Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник через боковые стороны и основание

   \[ r = \frac{b}{2} \cdot \sqrt{\frac{2a-b}{2a+b}} \]

   a — боковая сторона; b — основание;

2. Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник через высоту и основание

   \[ r = \frac{bh}{b + \sqrt{4h^2+b^2}} \]

   b — основание; h — высота;

3. Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник через диаметр вписанной окружности

   \[ r = \frac{D}{2} \]

   D — диаметр вписанной окружности;

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник

1. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник через два катета и гипотенузу

   \[ r = \frac{a+b-c}{2} \]

   a, b — катеты; с — гипотенуза.

2. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник через гипотенузу и два катета

   \[ r = \frac{ab}{a+b+c} \]

   c — гипотенуза; a, b — катеты;

3. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник через диаметр вписанной окружности

   \[ r = \frac{D}{2} \]

   D — диаметр вписанной окружности;

   ---

Вписанная окружность в треугольник — это окружность,
которая вписана в треугольник и касается всех его сторон.

Радиус вписанной окружности в треугольник — это отрезок,
проведенный от центра вписанной окружности до любой стороны.

Длина радиуса вписанной окружности, диаметра
вписанной окружности а также других величин
измеряется в мм, см, м, км и так далее.

В любом треугольнике все радиусы и диаметры
равны, имеют одинаковую длину.