Теорема Пифагора

Теорема Пифагора является одной из важнейших теорем в геометрии.

Формулировка у теоремы такая:
в прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов
.

Зная формулировку теоремы Пифагора и две стороны прямоугольного треугольника:
два катета либо катет и гипотенузу, можно найти третью сторону треугольника,
соответственно: гипотенузу либо катет. На рисунке 1 изображен
прямоугольный треугольник и формулировка теорема Пифагора.

Теорема Пифагора

Доказательство теоремы Пифагора

Для доказательства этой теоремы, нарисуем прямоугольный треугольник.
Ради удобства обозначим гипотенузу латинской буквой с, а катеты латинскими
буквами a и b. Докажем, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы
равен сумме квадратов катетов
, или иначе \( c^2=a^2+b^2 \).

Теорема Пифагора

Достроим наш прямоугольный треугольник до квадрата, изображенного
на рисунке 2. Квадрат, который мы построили состоит из четырех равных
прямоугольных треугольников. Площадь каждого прямоугольного треугольника
равна  \( (1/2)ab \)​, а площадь всего квадрата  \( (a+b)^2 \)​, поэтому:
\( S = 4 * (1/2)ab + c^2 = 2ab + c^2. \).​Тогда, \( (a+b)^2 = 2ab + c^2 \), откуда
следует,  что   ​\( c^2=a^2+b^2 \). ч.т.д.

Теорема доказана.

Следствия из теоремы Пифагора

У этой теоремы много следствий, которые используются при доказательстве
других теорем и некоторых свойств. Перечислим основные из них:

  1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из катетов.
  2. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения одного катета на другой катет.
  3. Треугольник прямоугольный, если к любым двум сторонам треугольника можно применить теорему Пифагора и найти третью сторону.
  4. \( c^2=a^2+b^2 \)
  5. \( a^2=c^2-b^2 \)
  6. \( b^2=c^2-a^2 \)
Оцените статью
Colibrus
Добавить комментарий

Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить