Теорема о соотношениях между углами и сторонами треугольника

Теорема о соотношениях между углами и сторонами
треугольника
звучит так:

В треугольнике напротив большего угла лежит
большая сторона, и обратно,
напротив большей
стороны лежит больший угол.

Доказательство теоремы

Эту теорему мы докажем, используя рисунок 1, где изображен
треугольник DFE.

1. Предположим, что в треугольнике DFE сторона FE < DF.
Докажем, что ∠E >∠D.

Отложим на стороне DF отрезок FP = FE. В результате ∠1 = ∠2,
а сторона PF = FE, следовательно треугольник PFEравнобедренный.

∠1 является частью ∠E, значит ∠1 < ∠С. ∠2 — внешний угол
треугольника PDE, поэтому∠2 > ∠D. Так, как ∠1 и ∠2 равны, а ∠1
является частью ∠E, ∠2  > ∠D, значит ∠E > ∠D.

2. Допустим, что в треугольнике DFE ∠E > ∠D. Докажем,
что сторона FD > FE.

Предположим, что это не так. Тогда сторона FD = FE, или сторона FD < FE.
В первом случае треугольник FDE равнобедренный, значит∠E = ∠D.

Во втором же случае ∠D > ∠E — напротив большей стороны лежит больший угол.
Утверждение в первом и втором случае противоречит условию: ∠E > ∠D. Из этого
следует то, что наше предположение неверно, и, следовательно DF > FE, ∠E >∠D, ч.т.д.
Теорема доказана.

Теорема о соотношениях между углами и сторонами треугольника

Следствия из доказанной теоремы

Из теоремы, которую мы сейчас доказали следует вот что:

  1.  Гипотенуза в прямоугольном треугольнике больше катета,
    так как катеты лежат напротив острых углов, а гипотенуза
    лежит напротив прямого угла.
  2. Если две стороны или два угла треугольника равны, то
    треугольник равнобедренный, действительно, если в
    треугольнике два угла равны, значит и стороны
    напротив этих углов равны.
  3. В равнобедренном треугольнике при равных сторонах два
    угла равны, а третий больший угол лежит
    напротив большей стороны.

 

Оцените статью
Colibrus
Добавить комментарий

Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить