Первый признак равенства треугольников
По двум сторонам и углу между ними.
Формулировка первого признака
равенства треугольников:
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника,
то такие треугольники равны.
Доказательство первого признака
равенства треугольников:
- Рассмотрим △ABC и △FHE, в которых AC = FE, AB = HE, ∠A = ∠E. Докажем, что △ABC = △FHE.
- ∠A = ∠E, значит △ABC можно наложить на △FHE так, что вершина A совместится с вершиной E.
- AC = FE и AB = HE, значит стороны AC и FE, а также стороны AB и HE можно наложить друг на друга так, что они совместятся:
AC совместится с FE, AB совместится с HE. - Итак, △ABC и △FHE полностью совместятся, значит они равны — ч.т.д.
Второй признак равенства треугольников
По стороне и двум прилежащим к ней углам.
Формулировка второго признака
равенства треугольников:
Если сторона и прилежащие к ней два угла одного треугольника соответственно равны стороне
и прилежащим к ней двум углам другого треугольника то такие треугольники равны.
Доказательство второго признака
равенства треугольников:
- Рассмотрим △ABC и △FHE, в которых AC = FE, ∠С = ∠F, ∠A = ∠E. Докажем, что △ABC = △FHE.
- AC = FE, значит△ABC можно наложить на△FHE так, что сторона AC совместится со стороной FE.
- ∠С = ∠F и ∠A = ∠E, можно наложить друг на друга так, что они совместятся:
∠С совместится с ∠F, ∠A совместится с∠E.
- Итак, △ABC и △FHE полностью совместятся, значит они равны — ч.т.д.
Третий признак равенства треугольников
По трем сторонам.
Формулировка третьего признака
равенства треугольников:
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам
другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство третьего признака равенства
треугольников:
- Рассмотрим △ABC и △FHE, в которых AC = FE, AB = HE, BC = FH. Докажем, что △ABC = △FHE.
- AC = FE, AB = HE, BC = FH, значит эти стороны можно наложить друг на друга так, что они совместятся:
AC совместится с FE, AB совместится с HE, BC совместится с FH. - Итак, △ABC и △FHE полностью совместятся, значит они равны — ч.т.д.
Итог
Равенство треугольников можно доказать с помощью трех признаков:
- По двум сторонам и углу между ними.
- По стороне и двум прилежащим к ней углам.
- По трем сторонам.
