Прямоугольный треугольник: Признаки Равенства и Подобия

Определение

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов прямой.

Гипотенуза в прямоугольном треугольнике — это сторона напротив прямого угла.

Катет в прямоугольном треугольнике — это две стороны прилежащие к прямому углу.

Свойства прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике:

1. Сумма острых углов 90˚.
2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.
3. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
4. Центр описанной окружности — середина гипотенузы.
   

Формулы:

1. Площадь прямоугольного треугольника равна
   половине произведения катетов:
   
2. Радиус описанной окружности около прямоугольного
   треугольника равен половине гипотенузы:
   
3. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник
   выражается следующим образом:
   
4. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Признаки равенства прямоугольных треугольников

С помощью признаков равенства прямоугольных треугольников
можно доказать что прямоугольные треугольники равны.

1. По двум катетам:
   Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно
   равны двум катетам другого прямоугольного треугольника,
   то такие треугольники равны.
   
2. По катету и гипотенузе:
   Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно
   равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника,
   то такие треугольники равны.
   
3. По гипотенузе и острому углу:
   Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно
   равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника,
   то такие треугольникиравны.
   
4. По катету и острому углу:
   Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно
   равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника,
   то такие треугольники равны.

Признаки прямоугольного треугольника

С помощью признаков прямоугольного треугольника можно
доказать, что треугольник прямоугольный.

1. По теореме Пифагора:
   Если квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон,
   то треугольник прямоугольный.
2. По центру описанной окружности:
   Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника,
   то треугольник прямоугольный.
3. По медиане:
   Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена,
   то треугольник прямоугольный.
4. По площади:
   Если площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон,
   то треугольник прямоугольный.
5. По радиусу описанной окружности:
   Если радиус описанной окружности равен половине,
   то треугольник прямоугольный.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

С помощью признаков подобия прямоугольных треугольников можно
доказать, что прямоугольные треугольники подобны.

1. По одному острому углу:
   Если острый угол одного прямоугольного треугольника подобен острому углу
   другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны.
2. По пропорциональности двух катетов:
   Если пропорциональность двух катетов одного прямоугольного треугольника подобна
   пропорциональности двух катетов другого прямоугольного треугольника,
   то такие прямоугольные треугольники подобны.
3. По пропорциональности катета и гипотенузы:
   Если пропорциональность катета и гипотенузы одного прямоугольного треугольника
   подобна пропорциональности катета и гипотенузы другого прямоугольного треугольника,
   то такие прямоугольные треугольники подобны.