Квадрат вписанный в окружность

Определение

Квадрат, вписанный в окружность — это квадрат, который находится
внутри окружности и соприкасается с ней углами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
квадрата и окружность, вписанная в квадрат.

Формулы

Радиус вписанной окружности в квадрат

1. Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна сторона:
   

   \[ r=\frac{a}{2} \]

2. Радиус вписанной окружности в квадрат, если известен периметр:
   

   \[ r=\frac{P}{8} \]

3. Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна площадь:
   

   \[ r=\frac{\sqrt S}{2} \]

4. Радиус вписанной окружности в квадрат, если известен радиус описанной окружности:
   

   \[ r=\frac{ R}{\sqrt 2} \]

5. Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна диагональ:

   \[ r=\frac{ d}{2\sqrt 2} \]

Радиус описанной окружности около квадрата

1. Радиус описанной окружности около квадрата, если известна сторона:
   

   \[ R=a\frac{\sqrt 2}{ 2} \]

2. Радиус описанной окружности около квадрата, если известен периметр:
   

   \[ R=\frac{ P}{4 \sqrt 2} \]

3. Радиус описанной окружности около квадрата, если известна площадь:
   

   \[ R=\frac{\sqrt 2S}{ 2} \]

4. Радиус описанной окружности около квадрата, если известен радиус вписанной окружности:
   

   \[ R= r \sqrt2 \]

5. Радиус описанной окружности около квадрата, если известна диагональ:
   

   \[ R=\frac{d}{2} \]

Сторона квадрата

1. Сторона квадрата вписанного в окружность, если известна площадь:
   

   \[ a=\sqrt S \]

2. Сторона квадрата вписанного в окружность, если известна диагональ:
   

   \[ a=\frac{ d}{\sqrt 2} \]

3. Сторона квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:
   

   \[ a=\frac{ P}{4} \]

Площадь квадрата

1. Площадь квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:

   \[ S=a^2 \]

2. Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен радиус вписанной окружности:
   

   \[ S=4r^2 \]

3. Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:
   

   \[ S=2R^2 \]

4. Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:
   

   \[ S=\frac{ P^2}{ 16} \]

5. Площадь квадрата вписанного в окружность, если известна диагональ:
   

   \[ S=\frac{ d^2}{ 2} \]

Периметр квадрата

1. Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:
   

   \[ P=4a \]

2. Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна площадь:
   

   \[ P=4\sqrt S \]

3. Периметр квадрата вписанного в окружность, если известен радиус вписанной окружности:
   

   \[ P=8r \]

4. Периметр квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:
   

   \[ P=4R\sqrt 2 \]

5. Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна диагональ:
   

   \[ P=2d\sqrt 2 \]

Диагональ квадрата

1. Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:
   

   \[ d=a\sqrt 2 \]

2. Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известна площадь:
   

   \[ d=\sqrt 2S \]

3. Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:
   

   \[ d=\frac{ P}{2 \sqrt 2} \]

4. Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен радиус вписанной окружности:
   

   \[ d=2r\sqrt 2 \]

5. Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:
   

   \[ d=2R \]

Свойства

1. Все углы в квадрате прямые.
2. Все стороны квадрата равны.
3. Сумма всех углов квадрата 360°.
4. Диагонали квадрата одновременно равны, пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами углов.
5. Точка пересечения диагоналей квадрата является центром вписанной и описанной окружности.
6. Диагонали квадрата перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам.
7. Квадрат обладает симметрией.