Треугольник вписанный в окружность

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — не диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известна площадь и все стороны:
   

   \[ r = \frac{S}{(a+b+c)/2} \]

2. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известны площадь и периметр:
   

   \[ r = \frac{S}{\frac{1}{2}P} \]

3. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известны полупериметр и все стороны:
   

   \[ r = \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}} \]

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

1. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:
   

   \[ R = \frac{AC}{2 \sin \angle B} \]

2. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известны все стороны и площадь:
   

   \[ R = \frac{abc}{4S} \]

3. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известны все стороны и полупериметр:

   \[ R = \frac{abc}{4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}} \]

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

   \[ S = pr \]

2. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известен полупериметр:

   \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

3. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известен высота и основание:

   \[ S = \frac{1}2 ah \]

4. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

   \[ S = \frac{a^2}{2\cdot (sin(α)⋅sin(β)) : sin(180 — (α + β))} \]

5. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны и синус угла между ними:

   \[ S = \frac{1}{2}ab \cdot \sin \angle C \]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

1.  Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известны все стороны:
   

   \[ P = a + b + c \]

2. Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известна площадь и радиус вписанной окружности:
   

   \[ P = \frac{2S}{r} \]

3. Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны и угол между ними:

   \[ P = \sqrt{ b2 + с2 — 2 * b * с * cosα} + (b + с) \]

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны и косинус угла между ними:

   \[ a = \sqrt{b^2+c^2 -2bc \cdot \cos \alpha} \]

2. Сторона треугольника вписанного в
   окружность, если известна сторона и два угла:
   

   \[ a = \frac{b · \sin \alpha }{\sin β} \]

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

1. Средняя линия треугольника вписанного
   в окружность, если известно основание:
   

   \[ l = \frac{AB}{2} \]

2. Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны, ни одна из них не является
   основанием, и косинус угла между ними:
   

   \[ l = \frac{\sqrt{b^2+c^2-2bc \cdot \cos \alpha}}{2} \]

Высота треугольника

h — высота треугольника.

1. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известна площадь и основание:

   \[ h = \frac{2S}{a} \]

2. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известен сторона и синус угла прилежащего
   к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

   \[ h = b \cdot \sin \alpha \]

3. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известен радиус описанной окружности и
   две стороны, ни одна из которых не является основанием:

   \[ h = \frac{bc}{2R} \]

Свойства

• Центр вписанной в треугольник окружности
  находится на пересечении биссектрис.
• В треугольник, вписанный в окружность,
  можно вписать окружность, причем только одну.
• Для треугольника, вписанного в окружность,
  справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
  и Теорема Пифагора.
• Центр описанной около треугольника окружности
  находится на пересечении серединных перпендикуляров.
• Все вершины треугольника, вписанного
  в окружность, лежат на окружности.
• Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
• Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
  треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
  формуле Герона.

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

Дано: окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

Доказать: окружность описана
около треугольника.

Доказательство:

1.  Проведем серединные
   перпендикуляры — HO, FO, EO.
2.  O — точка пересечения серединных
   перпендикуляров равноудалена от
   всех вершин треугольника.
3. Центр окружности — точка пересечения
   серединных перпендикуляров — около
   треугольника описана окружность — O,
   от центра окружности к вершинам можно
   провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

Следовательно: окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.