Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

• Треугольник
• Выпуклый, правильный многоугольник
• Квадрат
• Равнобедренная трапеция
• Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

1.  В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
2.  Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
3.  Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
4.  Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

   \[ S = \frac{1}{2}(a+b+c) \cdot r = pr \]

   p —  полупериметр четырехугольника.
   r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

5.  Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
6.  Точка касания — это точка, в которой соприкасается
   окружность и любая из сторон треугольника.
7.  От центра вписанной окружности можно провести
   перпендикуляры к любой точке касания.
8.  Вписанная в треугольник окружность делит стороны
   треугольника на 3 пары равных отрезков.
9.  Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
   Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

   \[ с = \sqrt{R^2 — 2Rr} \]

   с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
   R — радиус описанной около треугольника.
   r — радиус вписанной окружности треугольника.

В четырехугольник

1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
   сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
3. Центр вписанной окружности и середины двух
   диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
   окружность и любая из сторон четырехугольника.
6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

   \[ S = \frac{1}{2}(a+b+c+d)\cdot r = pr \]

   p —  полупериметр четырехугольника.
   r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

7. Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
   равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.

Примеры вписанной окружности

• Треугольник
  
• Четырехугольник
  
• Многоугольник
  

Примеры описанного четырехугольника:
равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

Примеры описанного треугольника:
равносторонний, равнобедренный,
прямоугольный треугольники.

Верные и неверные утверждения

1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
   в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
   углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
   половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
    три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

Окружность вписанная в угол

Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
лежит внутри этого угла и касается его сторон.

Центр окружности, которая вписана в угол,
расположен на биссектрисе этого угла.

К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

Так-же читайте статью про треугольник вписанный в окружность.