Гипотенуза треугольника — это такая сторона треугольника, длина которой равна
квадратному корню из суммы квадратов длин двух других сторон.
Можно сказать, что в треугольнике есть гипотенуза, если длину
какой-нибудь стороны можно выразить по формуле:
\[ с = \sqrt{a^2+b^2} \]
Это формула из Теоремы Пифагора. Где с — гипотенуза треугольника, a и b — катеты треугольника.
Не во всех треугольниках есть гипотенуза!
Признаки наличия гипотенузы в треугольнике
Существует ряд случаев / признаков по которым
можно определить, что в треугольнике есть гипотенуза:
- Прямоугольный треугольник;
- Треугольник, у которого один из углов прямой, по условию;
- Два угла треугольника по 45 градусов;
- Треугольник, к которому можно применить Теорему Пифагора;
- Если в треугольнике известны только два угла, и третий угол
является прямым (по теореме о сумме углов треугольника); - Квадратный корень из суммы квадратов длин двух
сторон треугольника равен длине третьей стороне; - По условию задачи две стороны являются катетами.
- Египетский треугольник;
Если хотя бы один из вышеперечисленных признаков верен,
соответствует условию задачи, то в треугольнике есть гипотенуза.
Пример гипотенузы в треугольнике
На рисунке 1 изображен прямоугольный треугольник со сторонами a, b, c.
В данном случае, определить какая сторона является гипотенузой
довольно таки просто. Стороны a и b образуют прямой угол,
поэтому сторона c — гипотенуза. Сторона c является гипотенузой
треугольника, так как два смежных с ней угла, образуют в
сумме угол в 90 градусов, т.е прямой.
Длина гипотенузы треугольника
Мы могли бы определить является ли сторона гипотенузой произвольного
треугольника, зная только величину длин всех сторон треугольника.
Как узнать есть ли гипотенуза? Какова её длина?
Допустим, длина стороны a = 3, b = 4, c = 5, тогда по Теореме Пифагора (по признаку гипотенузы в треугольнике):
\[ 5 = \sqrt{3^2+4^2} \]
\[ 5 = \sqrt{9+16} \]
\[ 5 = \sqrt{25} \]
\[ 5 = 5 \]
Все сходится, следовательно гипотенуза в треугольнике есть, и её длина равна 5.
Если в вашем случае ответ не сходится, числа получились в
итоге разные, значит, однозначно гипотенузы в треугольнике нет!
Длину гипотенузы треугольника, можно узнать с помощью Теоремы Пифагора, только в трех базовых случаях:
- В треугольнике известны длины двух сторон, есть прямой угол;
- Два угла треугольника по 45 градусов, известна только одна сторона;
- Известны длины всех сторон треугольника;
